Уявіть, що ви є учасником телевікторини. Ведучий демонструє вам три закритих дверей і повідомляє: «За однією з цих дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими - кози».
Ведучий просить вас вибрати одну з дверей, і ви вибираєте двері № 1. Після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, відкриває двері № 3, показуючи вам одну з кіз. Потім він запитує, чи не бажаєте ви змінити своє рішення і вибрати замість дверей № 1 двері № 2. Як вам слід вчинити в даній ситуації: змінити прийняте раніше рішення або залишити його в силі?
Якщо ви вважаєте, що статистично обидва варіанти однаково вигідні, ви не праві.
Описана вище завдання здобула популярність як парадокс Монті Холла (назва була дана на честь провідного американського телешоу «Let's Make a Deal»). Зовнішня простота цього завдання не заважала їй ставати каменем спотикання для викладачів Массачусетського технологічного інституту і лауреатів стипендії Мак-Артура. Протягом декількох десятиліть парадокс Монті Холла був одним з найбільш обговорюваних питань, пов'язаних з теорією ймовірностей.
Тут варто зазначити, що схожі завдання займали уми математиків і раніше. Так, наприклад, в 1889 році Жозеф Бертран (Joseph Bertrand) описав так званий парадокс коробок (box paradox):
«Є три коробки. В одній з них знаходяться дві золотих монети. В іншій - дві срібні. Остання коробка містить в собі одну золоту і одну срібну монету. Учасник експерименту витягує з випадковою коробки одну монету, і та виявляється золотий. Яка ймовірність того, що друга монета в цій коробці також виявиться золотою? »
Бертран зумів прийти до висновку, що ймовірність цієї події дорівнює ⅔. «Завдання трьох в'язнів», опублікована в 1959 році американським математиком Мартіном Гарднером (Martin Gardner), також мають загальну природу з парадоксом Монті Холла. «Теорія ймовірностей частіше будь-який інший галузі математичної науки підкидає визнаним експертам по-справжньому непрості питання», - писав Гарднер.
Вперше парадокс Монті Холла був згаданий в листі, яке в 1975 році відправив до редакції журналу The American Statistician професор Каліфорнійського університету в Берклі Стів Селвін (Steve Selvin). У цьому листі вказувалося на те, що змінивши свій вибір, учасник вікторини може збільшити ймовірність отримання автомобіля до ⅔, а залишивши рішення незмінним, він отримає шанси на виграш, рівні ⅓.
Протягом наступного десятиліття завдання з'являлася на сторінках ще кількох видань. Оскільки ніхто не ставив під сумнів висновки Стіва Селвина, парадокс Монті Холла не залучав широкої уваги. Але в 1990 році все змінилося.
Рішення парадоксу Монті Холла
Після того, як ведучий відкрив двері № 3, ви повинні вибрати одну з двох, що залишилися дверей. Тут багато людей могли б подумати, що незалежно від їх рішення ймовірність отримати автомобіль складе 50%. Але це не так.
«Шанс на те, що автомобіль знаходиться за обраною вами спочатку дверима, не може збільшитися з ⅓ до ⅔ просто тому, що ведучий відкрив одну з неправильних дверей», - пише вос Савант.
Переконатися в тому, що змінюючи своє рішення, ви дійсно збільшуєте ймовірність перемоги з 33,3% до 66,6%, досить просто. Для цього достатньо розглянути всі шість можливих результатів:
| Двері 1 | Двері 2 | Двері 3 | дія » результат | |
|---|---|---|---|---|
| Гра 1 | авто | коза | коза | змінити » програш |
| Гра 2 | коза | авто | коза | змінити » виграш |
| Гра 3 | коза | коза | авто | змінити » виграш |
| Гра 4 | авто | коза | коза | залишити » виграш |
| Гра 5 | коза | авто | коза | залишити » програш |
| Гра 6 | коза | коза | авто | залишити » програш |
